06. Relation fondamentale : cos²(θ) + sin²(θ) = 1
En affichant le triangle rectangle formé par les longueurs cosinus et sinus sur le cercle unité, on peut appliquer le théorème de Pythagore et obtenir une identité vraie pour tout angle.
Storyboard de l'animation
1) Construire le triangle rectangle à partir de P
Le point P est sur le cercle unité : OP = 1. En projetant P sur l’axe des abscisses, on obtient le point A et le triangle OAP est rectangle en A.
- OA correspond à cos(θ)
- AP correspond à sin(θ)
- OP correspond au rayon du cercle unité : 1
2) Appliquer le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse : OA2 + AP2 = OP2.
3) Obtenir la relation fondamentale
En remplaçant OA par cos(θ), AP par sin(θ) et OP par 1, on obtient la relation fondamentale :
cos2(θ) + sin2(θ) = 1
Points-clés
- Sur le cercle unité : P = (cos(θ), sin(θ)).
- Le triangle OAP est rectangle en A.
- La relation cos²(θ) + sin²(θ) = 1 est vraie pour tout θ.
- Conséquence : cos(θ) = ±√(1 − sin²(θ)) et sin(θ) = ±√(1 − cos²(θ)).
Mini-quiz
Sur le cercle trigonométrique, la longueur OP vaut :
La relation fondamentale s’écrit :
Si sin(θ)=0,6 (et θ dans le 1er quadrant), alors cos(θ) vaut :