Complément 08A. Formules de base et valeurs remarquables

Pour tout angle $\theta$, on associe une valeur de cos($\theta$), de sin($\theta$) et de tan($\theta$). Il n’est pas nécessaire de connaître toutes les valeurs par cœur, mais certaines valeurs entre $0$ et $\pi/2$ sont à retenir.

Formules de base

Définition sur le cercle trigonométrique (cercle unité)

Le point du cercle associé à l’angle $\theta$ a pour coordonnées :

$$P(\cos(\theta),\,\sin(\theta))$$

Ainsi, sur le cercle unité, x = cos(θ) et y = sin(θ).

Relation fondamentale

$$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$$

Elle permet de retrouver un cosinus à partir d’un sinus (et inversement), en tenant compte du signe selon le quadrant.

Tangente

$$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Attention : $\tan(\theta)$ est indéfinie quand $\cos(\theta)=0$ (division par zéro), notamment pour $\theta=\pi/2$.

Tableau des valeurs remarquables

Angles classiques entre $0$ et $\pi/2$ : $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$.

Angle $\theta$	cos($\theta$)	sin($\theta$)	tan($\theta$)
$0$	$1$	$0$	$0$
$\pi/6$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}/3$
$\pi/4$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1$
$\pi/3$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{3}$
$\pi/2$	$0$	$1$	indéfinie

Astuce de mémorisation (très efficace)

La “ligne” des racines

Pour les angles $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$ :

$\sin(\theta)$ suit : $\sqrt{0}/2$, $\sqrt{1}/2$, $\sqrt{2}/2$, $\sqrt{3}/2$, $\sqrt{4}/2$
$\cos(\theta)$ suit la même liste… mais à l’envers.
Ensuite, $\tan(\theta)=\sin(\theta)/\cos(\theta)$.

Texte pour l’animation

Voix off proposée

Pour tout angle $\theta$, nous avons une valeur de cosinus, de sinus et de tangente associée. Il n’est pas utile de connaître toutes les valeurs, mais certaines valeurs entre $0$ et $\pi/2$ sont à remarquer.

Pour $\theta = 0$, on observe que $\cos(0)=1$ et $\sin(0)=0$.

Pour $\theta = \pi/6$, on remarque que $\sin(\pi/6)=1/2$. Pour trouver $\cos(\pi/6)$, on utilise la relation $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)=1$. On obtient $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ (positif dans le premier quadrant).

Pour $\theta = \pi/4$, on est sur une symétrie : le cosinus et le sinus ont la même valeur. On déduit alors $\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$.

Pour $\theta = \pi/3$, par symétrie avec $\pi/6$, on a $\cos(\pi/3)=1/2$ et $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$.

Enfin, pour $\theta = \pi/2$, on a $\sin(\pi/2)=1$ et $\cos(\pi/2)=0$. La tangente est alors indéfinie, car on ne peut pas diviser par zéro.

Remarque : selon le navigateur, la lecture vocale peut nécessiter une interaction utilisateur (clic) et une voix française disponible.

Exercices rapides

Calcule $\tan(\pi/6)$ et simplifie le résultat (forme $\sqrt{3}/3$).
Retrouve $\cos(\pi/4)$ en utilisant $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ et la symétrie.
Explique pourquoi $\tan(\pi/2)$ est indéfinie (avec une phrase mathématique).

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